Question

如图，矩形OABC和平行四边形OA₁B₁C₁的部分顶点坐标为：A（-1，0），B（-1，2），A₁（

1

2

，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₁C₁的线性变换对应的矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,几种特殊的矩阵变换

专题：计算题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）设M=

a b c d

，依题意得C（0，2），依题意得=

a b c d

•

-1 0

=

1 2 1

，由矩阵乘法解出a，b，c，d即可；
（II）由矩阵的特征多项式f（λ）=

.

λ+ 1 2 -1 1 λ

.

，令它为0，即可得到特征值和特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）设M=

a b c d

，依题意得C（0，2）
依题意得=

a b c d

•

-1 0

=

1 2 1

，
即

-a= 1 2 -c=1 2b=2 2d=0

，所以

a=- 1 2 b=1 c=-1 d=0

所以M=

- 1 2 1 -1 0

；
（II）因为矩阵M的特征方程f（λ）=

.

λ+ 1 2 -1 1 λ

.

=λ²+

1

2

λ+1=0无解，
所以矩阵M没有特征值也没有特征向量．

点评：本题考查矩阵变换与矩阵的求法，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．