Question

已知函数f(x)=loga

2m-1-mx

x+1

(a＞0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a＞1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质，可得f（x）+f（-x）=0，代入函数的解析式，转化为方程f（x）+f（-x）=0在区间D上恒成立，进而求解；
（2）令t=

1-x

1+x

，先求出该函数在定义域D内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出f（x）的单调性．
（3）首先由A⊆D，求出a、b的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数f（x）的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出a，排除b＜1的情况，最终确定b的值．

解答：解（1）∵y=f（x）是奇函数，
∴对任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即loga

2m-1-mx

1+x

+loga

2m-1+mx

1-x

=0．（2分）
化简此式，得（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），
必有

m2-1=0 (2m-1)2-1=0

，解得m=1．（4分）
∴f(x)=loga

1-x

1+x

，D=(-1，1)．（5分）
（2）当a＞1时，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是单调减函数．
理由：令t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

．
易知1+x在D=（-1，1）上是随x增大而增大，

2

1+x

在D=（-1，1）上是随x增大而减小，（6分）
故t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

在D=（-1，1）上是随x增大而减小．（8分）
于是，当a＞1时，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是单调减函数．（10分）
（3）∵A=[a，b）⊆D，
∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）
∴依据（2）的道理，当0＜a＜1时，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在A上是增函数，（12分）
即f(a)=1，loga

1-a

1+a

=1，解得a=

2

-1(舍去a=-

2

-1)．（14分）
若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为[1，loga

1-b

1+b

)，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1）
∴必有b=1．（16分）
因此，所求实数a、b的值是a=

2

-1、b=1．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．