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已知函数f(x)=loga
2m-1-mxx+1
(a>0,a≠1)
是奇函数,定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合).
(1)求实数m的值,并写出区间D;
(2)若底数a>1,试判断函数y=f(x)在定义域D内的单调性,并说明理由;
(3)当x∈A=[a,b)(A⊆D,a是底数)时,函数值组成的集合为[1,+∞),求实数a、b的值.
分析:(1)由奇函数的性质,可得f(x)+f(-x)=0,代入函数的解析式,转化为方程f(x)+f(-x)=0在区间D上恒成立,进而求解;
(2)令t=
1-x
1+x
,先求出该函数在定义域D内的单调性,然后利用复合函数的单调性,求出f(x)的单调性.
(3)首先由A⊆D,求出a、b的范围,进而结合(2)中的结论,确定函数f(x)的单调性,然后利用函数的单调性确定函数的最值,结合已知,解方程求出a,排除b<1的情况,最终确定b的值.
解答:解(1)∵y=f(x)是奇函数,
∴对任意x∈D,有f(x)+f(-x)=0,即loga
2m-1-mx
1+x
+loga
2m-1+mx
1-x
=0
.(2分)
化简此式,得(m2-1)x2-(2m-1)2+1=0.又此方程有无穷多解(D是区间),
必有
m2-1=0
(2m-1)2-1=0
,解得m=1.(4分)
f(x)=loga
1-x
1+x
,D=(-1,1)
.(5分)
(2)当a>1时,函数f(x)=loga
1-x
1+x
在D=(-1,1)
上是单调减函数.
理由:令t=
1-x
1+x
=-1+
2
1+x

易知1+x在D=(-1,1)上是随x增大而增大,
2
1+x
在D=(-1,1)上是随x增大而减小,(6分)
t=
1-x
1+x
=-1+
2
1+x
在D=(-1,1)上是随x增大而减小.(8分)
于是,当a>1时,函数f(x)=loga
1-x
1+x
在D=(-1,1)
上是单调减函数.(10分)
(3)∵A=[a,b)⊆D,
∴0<a<1,a<b≤1.(11分)
∴依据(2)的道理,当0<a<1时,函数f(x)=loga
1-x
1+x
在A
上是增函数,(12分)
f(a)=1,loga
1-a
1+a
=1
,解得a=
2
-1(舍去a=-
2
-1)
.(14分)
若b<1,则f(x)在A上的函数值组成的集合为[1,loga
1-b
1+b
)
,不满足函数值组成的集合是[1,+∞)的要求.(也可利用函数的变化趋势分析,得出b=1)
∴必有b=1.(16分)
因此,所求实数a、b的值是a=
2
-1、b=1
点评:本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识,以及运算求解能力.在解答过程当中,分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现,值得同学们体会反思.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

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f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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1
2
x2-alnx
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(2)当x∈[
1
e
,e]
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12
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13
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已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

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