Question

【题目】在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为线段上的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形得出，故而平面；

（2）取的中点，以为原点建立空间坐标系，根据得出二面角的大小，得出的坐标，求出平面的法向量，计算和的夹角得出结论．

（1）取的中点，连接，．∵，是，的中点，∴，，

又，，∴，，

∴四边形是平行四边形，∴，

又平面，平面，∴平面．

（2）取的中点，连接，过作的平行线，

以为原点，以，和平面过点的垂线为坐标轴建立空间坐标系，

∵，∴，设二面角的大小为，

则，，，，∴，

∴，，∵，

∴，

∴，.∴，，

∴，，

设平面的法向量为，则，即，

令可得，∴，

设直线与平面所成角为，则，∴.

∴直线与平面所成角的余弦值为．