Question

2．方程3^x+1+2^x+1=7•5^x-1的解集是{2}．

Answer 1

分析 方程3^x+1+2^x+1=7•5^x-1同除3^x+1可化为：1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$，根据函数y=1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$与y=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$的图象有一个交点，可得答案．

解答 解：方程3^x+1+2^x+1=7•5^x-1同除3^x+1得：
1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$，
∵y=1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$为减函数，y=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$为增函数，
故y=1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$与y=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$的图象至多有一个交点，
即方程1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$至多有一个根，
当x=2时，1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$=$\frac{35}{27}$，
故方程1+$（\frac{2}{3}）^{x+1}$=$\frac{7}{25}$•${（\frac{5}{3}）}^{x+1}$的根为x=2．
故方程3^x+1+2^x+1=7•5^x-1的解集是{2}，
故答案为：{2}

点评 本题考查的知识点是指数方程的解法，本题的关键在于确定x=2是方程唯一的根．