Question

如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中点．
（1）证明：平面ABC⊥平面ADC；
（2）若∠BDC=60°，求直线BM与CD所成的余弦值的大小．
（3）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出BC⊥AD，从而得到BC⊥平面ACD，由此能够证明平面ABC⊥平面ADC．
（2）取AC中点N，连结MN，BN，由已知条件推导出∠NMB是直线BM与CD所成的角，由此能求出直线BM与CD所成的余弦值．
（3）作CG⊥BD于G，作GH⊥BM于旧H，连结HG，CH，由已知条件推导出∠CHG为二面角的平面角，由此能求出二面角C-BM-D的大小．

解答： （1）证明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥AD，
又∵BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥平面ACD，
又∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．
（2）解：取AC中点N，连结MN，BN，
∵M是AD中点，∴MN∥DC，
∴∠NMB是直线BM与CD所成的角，
∵AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

，
∴CD=

2

，BC=

8-2

=

6

，AC=

4+2

=

6

，AB=

4+8

=2

3

，
∴cos∠BCA=

6+6-12

2×6

=0，∴∠BCA=90°，
∴BN=

BC2+CN2

=

6+ 6 4

=

30

2

，MN=

1

2

CD=

2

2

，
BM=

BD2+DM2

=

8+1

=3，
∴cos∠NMB=

9+ 1 2 - 30 4

2×3× 2 2

=

2

3

．
∴直线BM与CD所成的余弦值为

2

3

．
（3）解：作CG⊥BD于G，作GH⊥BM于旧H，连结HG，CH，
∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，∴CG⊥AD，
又∵CG⊥BD，AD∩BD=D，∴CG⊥平面ABD，
又∵BM?平面ABD，∴BM⊥CG，
又∵BM⊥CH，CG∩GH=G，∴BM⊥平面CGH，
∵CH?平面CGH∴BM⊥CH，
∴∠CHG为二面角的平面角．
在Rt△BCD中，
CD=BDcos60°=

2

，CG=CDsin60°=

6

2

，BG=BCsin60°=

3 2

2

在Rt△BDM中，HG=

BG?DM

BM

=

2

2

在Rt△CHG中，tan∠CHG=

CG

HG

=

6 2

2 2

=

3

∴∠CHG=60°，即二面角C-BM-D的大小为60°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．