Question

17．已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=3cost\\ y=2+2sint\end{array}$（t为参数），P是C上任意一点，以x轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），求P到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos²t+sin²t=1，消去t，化简整理，可得曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）解法一、求得直线方程y=x，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入曲线方程，运用判别式为0，可得m的值，由平行直线的距离公式可得最大值；
解法二、设点P（3cost，2+2sint），运用点到直线的距离公式和辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由x=3cost，y=2+2sint，且cos²t+sin²t=1，
消去参数t，得曲线C的直角坐标方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{{{{（{y-2}）}^2}}}{4}=1$．
（Ⅱ）解法一、直线l的直角坐标方程为y=x．
设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入$\frac{x^2}{9}+\frac{{{{（{y-2}）}^2}}}{4}=1$，
整理得13x²+18（m-2）x+9[（m-2）²-4]=0．
由△=[18（m-2）]²-4×13×9[（m-2）²-4]=0，得（m-2）²=13，
所以$m=2±\sqrt{13}$．
当点P位于直线$y=x+2+\sqrt{13}$与曲线C的交点（切点）时，
点P到直线l的距离最大，为$\frac{{2+\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{26}}}{2}$．
解法二、设点P（3cost，2+2sint），
则点P到直线x-y=0的距离为$\frac{{|{3cost-2-2sint}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{13}sin（{t-φ}）+2}|}}{{\sqrt{2}}}$，
其中$cosφ=\frac{2}{{\sqrt{13}}}，sinφ=\frac{3}{{\sqrt{13}}}$．
所以距离的最大值是$\frac{{\sqrt{13}+2}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{26}}}{2}$．

点评 本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查点到直线的距离的最大值，注意运用参数方程和点到直线的距离公式，以及联立直线和曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．