Question

5．定义在R上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x²，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+$\frac{1}{2}$≤f（1-x）+x的解集为$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．

Answer 1

分析 对f（-x）+f（x）=x²两边对x取导数，根据条件推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0且f′（0）≤0得到：x∈R，都有f′（x）＜x，根据不等式构造函数F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$-f（1-x）-x和F′（x），判断出F′（x）的符号可得F（x）的单调性，利用F（x）的单调性和F（$\frac{1}{2}$）=0求出不等式的解集．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x²，
两边对x求导，得-f′（-x）+f′（x）=2x，
∴f′（x）=f′（-x）+2x，
令x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（-x）＜-x，
∴f′（x）＜2x-x，即f′（x）＜x，
又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）＜x，
令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$-f（1-x）-x，则
F′（x）=f′（x）+f′（1-x）-1＜x+1-x-1=0，
∴F（x）是R上的单调减函数，且F（$\frac{1}{2}$）=0，
∴不等式f（x）+$\frac{1}{2}$≤f（1-x）+x化为：f（x）+$\frac{1}{2}$-f（1-x）-x≤0=F（$\frac{1}{2}$）成立
则不等式的解集是$[{\frac{1}{2}，+∞}）$，
故答案为：$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，考查构造函数研究函数的性质的能力，属于中档题．