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△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设复数z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i,且z在复平面内所对应的点在直线y=x上.
(1)求角B的大小;
(2)若sinB=cosAsinC,△ABC的外接圆的面积为4π,求△ABC的面积.
分析:(1)复数z所对应的点在直线y=x上,得出sinA(sinA-sinC)=sin2B-sin2C,化简后根据正弦定理得出a,b,c的关系式,再根据余弦定理求出cosB,求出角B.
(2)根据sinB=sin(A+C)及sinB=cosAsinC可求得cosCsinA=0,求出cosc=0,可知c为90°判断三角形为直角三角形.进而推断AB为外接圆的直径,由△ABC的外接圆的面积求出AB的长.进而求出AC,最后通过两个直角边的长求出△ABC的面积.
解答:解:(1)∵复数z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i所对应的点在直线y=x上,
∴sinA(sinA-sinC)=sin2B-sin2C,
即sin2A-sin2B-+sin2C=sinAsinC,
由正弦定理,得a2+c2-b2=ac
∴cosB=
a2+c2b2
2ac
=
1
2

∵B∈(0,π)
∴B=
π
3

(2)∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
sinB=cosAsinC,
∴cosCsinA=0
∵A,C∈(0,π)
∴cosC=0,C=
π
2

直角三角形ABC中,AB为外接圆的直径.
π(
AB
2
)
2
=4π
∴AB=4
∵B=
π
3

∴BC=2,AC=2
3

∴S△ABC=
1
2
CA•CB=
1
2
×2×2
3
=2
3
点评:本题主要考查正弦定理的应用.解这道题的关键是通过正弦定理完成三角形边角的转化.
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在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,C=
π
4
,cosB=
3
5

(1)求sinA的值;
(2)求△ABC的面积S.

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在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a:b:c=1:
3
:2,则sin A:sin B:sin C=(  )

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若△ABC中,三个内角A、B、C成等差数列,且a+c=1,则边b的取值范围是
[
1
2
,1)
[
1
2
,1)

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在△ABC中,三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,已知sinC=2sin(B+C)cosB.
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(2)设向量
m
=(a+c,b),
n
=(b+a,c-a)
,若
m
n
,求∠A.

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(2013•东城区一模)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=
3
acosB

(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若b=2
3
,求ac的最大值.

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