△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设复数z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i,且z在复平面内所对应的点在直线y=x上.
(1)求角B的大小;
(2)若sinB=cosAsinC,△ABC的外接圆的面积为4π,求△ABC的面积.
分析:(1)复数z所对应的点在直线y=x上,得出sinA(sinA-sinC)=sin2B-sin2C,化简后根据正弦定理得出a,b,c的关系式,再根据余弦定理求出cosB,求出角B.
(2)根据sinB=sin(A+C)及sinB=cosAsinC可求得cosCsinA=0,求出cosc=0,可知c为90°判断三角形为直角三角形.进而推断AB为外接圆的直径,由△ABC的外接圆的面积求出AB的长.进而求出AC,最后通过两个直角边的长求出△ABC的面积.
解答:解:(1)∵复数z=sinA(sinA-sinC)+(sin
2B-sin
2C)i所对应的点在直线y=x上,
∴sinA(sinA-sinC)=sin
2B-sin
2C,
即sin
2A-sin
2B-+sin
2C=sinAsinC,
由正弦定理,得a
2+c
2-b
2=ac
∴cosB=
=
,
∵B∈(0,π)
∴B=
.
(2)∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
sinB=cosAsinC,
∴cosCsinA=0
∵A,C∈(0,π)
∴cosC=0,C=
直角三角形ABC中,AB为外接圆的直径.
∴
π()2=4π
∴AB=4
∵B=
∴BC=2,AC=2
∴S△ABC=
CA•CB=×2×2=2.
点评:本题主要考查正弦定理的应用.解这道题的关键是通过正弦定理完成三角形边角的转化.