Question

已知抛物线C：y²=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

MA

•

MB

=0，则k=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：斜率k存在，设直线AB为y=k（x-2），代入抛物线方程，利用

MA

•

MB

=（x₁+2，y₁-2）•（x₂+2，y₂-2）=0，即可求出k的值．

解答： 解：由抛物线C：y²=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x-2），
代入抛物线方程，得到k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=4+

8

k2

，x₁x₂=4．
∴y₁+y₂=

8

k

，y₁y₂=-16
又

MA

•

MB

=0，
∴

MA

•

MB

=（x₁+2，y₁-2）•（x₂+2，y₂-2）=

16

k2

-

16

k

+4=0
∴k=2．
故答案为：2．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．