Question

已知定义在的函数,对任意的、，都有，且当时，.
（1）证明：当时，；
（2）判断函数的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的、，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）先证明，进而证明当时，；
（2）严格按照单调函数的定义证明即可；
（3）

试题分析：(1)证明:取,
又,即,
所以当时，；.
(2)在上是减函数,证明如下:
设,

在上是减函数.
(3) ，
而，所以实数的取值范围为.
点评：解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”，而且抽象函数的单调性的证明知能用定义，利
用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.