Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，
（1）求证：f（1）=0；
（2）求f（）；
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

Answer 1

解：（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，
故f（）=-2．
（3）设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（）＞0，
∴f（x₁）=f（×x₂）=f（）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴?3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．
分析：（1）根据对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；
（2）令x=4，y=4，代入求得f（16），而f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，即可求得f（）的值；
（3）根据当x＞1时，f（x）＞0，判断函数的单调性，把f（x）+f（x-3）≤1化为f[x（x-3）]≤1=f（4），根据单调性，去掉对应法则f，解不等式．
点评：此题是个中档题题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．