Question

18．若不等式ax²+bx-1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）试求a，b的值；
（2）求不等式$\frac{ax+1}{bx-1}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次不等式的解法，可知方程ax²+bx-1=0的解是1和2，从而利用韦达定理求得a、b的值，
（2）不等式转化为（x-2）（3x-2）＜0解所求不等式即可．

解答 解：（1）∵不等式ax²+bx-1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
∴a＜0且方程ax²+bx-1=0的解是1和2，
∴1+2=-$\frac{b}{a}$，1×2=-$\frac{1}{a}$
∴a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$；
（2）$\frac{ax+1}{bx-1}$＞0，化为$\frac{-\frac{1}{2}x+1}{\frac{3}{2}x-1}$＞0，即$\frac{x-2}{3x-2}$＜0，即（x-2）（3x-2）＜0，解得$\frac{3}{2}$＜x＜2，
∴不等式$\frac{ax+1}{bx-1}$＞0的解集为（$\frac{3}{2}$，2）．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的解法，函数方程不等式的思想，属基础题