Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=2px上一点到焦点F的距离与到y轴的距离的差为1．
（1）求抛物线的方程；
（2）过F作直线交抛物线于A，B两点，且A，B关于x轴的对称点分别为A′，B′，四边形AA′BB′的面积为S，求

S

|AB|2

的最大值，并求出此时直线AB的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知

p

2

=1；
（2）设A（

y12

4

，y1），B（

y22

4

，y₂），直线AB的方程为x=ky+1．由梯形面积公式及弦长公式可表示

S

|AB|2

，由

y2=4x x=ky+1

，得y²-4ky-4=0，y₁+y₂=4k，代入韦达定理得

S

|AB|2

为k的函数，利用基本不等式可求其最大值；

解答： 解：（1）由题意知

p

2

=1，∴p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x．
（2）设A（

y12

4

，y1），B（

y22

4

，y₂），直线AB的方程为x=ky+1．
于是S=

1

2

|2y1-2y2|•|

y12

4

-

y22

4

|=

1

4

(y1-y2)2|y1+y2|，
|AB|=

1+k2

|y₁-y₂|，于是

S

|AB|2

=

1

4

•

|y1+y2|

1+k2

，
又由

y2=4x x=ky+1

，得y²-4ky-4=0，y₁+y₂=4k，
于是

S

|AB|2

=

1

4

•

|y1+y2|

1+k2

=

|k|

1+k2

=

1

|k|+ 1 |k|

≤

1

2

，当且仅当k=±1时，等号成立．
∴

S

|AB|2

的最大值为

1

2

，此时直线AB的斜率也为±1．

点评：该题考查抛物线的方程、性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查方程思想，弦长公式、韦达定理是该类问题常用知识，要熟练掌握．