Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．
（1）若P为DF的中点，求证：BF∥平面ACP
（2）若直线PC与平面FAD所成角的正弦值为

2

3

，求PF的长度．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，交AC于点O，连接OP．利用OP为三角形BDF中位线，可得BF∥OP，利用线面平行的判定，可得BF∥平面ACP；
（2）由已知中平面ABEF⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理可得AF⊥平面ABCD，进而AF⊥CD，结合四边形ABCD为矩形及线面垂直的判定定理，可得CD⊥平面FAD，故∠CPD就是直线PC与平面FAD所成角，进而解三角形求出DF和PD，进而可得PF的长度．

解答： 证明：（1）连接BD，交AC于点O，连接OP．
∵P是DF中点，O为矩形ABCD对角线的交点，
∴OP为三角形BDF中位线，…（3分）
∴BF∥OP，
又∵BF?平面ACP，OP?平面ACP，
∴BF∥平面ACP．   …（6分）
解：（2）∵∠BAF=90°，
∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AF⊥平面ABCD，…（8分）
∴AF⊥CD
∵四边形ABCD为矩形
∴AD⊥CD                …（10分）
又∵AF∩AD=A，AF，AD?平面FAD
∴CD⊥平面FAD
∴∠CPD就是直线PC与平面FAD所成角…（12分）
∴sin∠CPD=

2

3

，
又∵AD=2，AB=CD=AF=1，
∴DF=

AD2+AF2

=

5

，PD=

PC2-CD2

=

( 3 2 CD)2-CD2

=

5

2

，
∴得PF=DF-PD=

5

2

                        …（14分）

点评：本题考查线面平行，考查线面夹角，其中（2）的关键是证明∠CPD就是直线PC与平面FAD所成角．