Question

某人计划间种植n棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率为p（0＜p＜1），设ξ表示他所种植的树中成活的棵数，ξ的数学期望为Eξ，方差为Dξ．
（1）若n=1，求Dξ的最大值；
（2）已知Eξ=3，标准差σξ=

3

2

，求n，p的值并写出ξ的分布列．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）ξ表示他所种植的树中成活的棵数，当n=1，ξ的可能取值是0，1，写出ξ的分布列，根据分布列做出期望值，代入方差的公式求出方差，根据二次函数的最值求出结果．
（2）根据每棵树是否成活互不影响，成活率为p得到ξ～B（n，p），根据Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），求出P的值，ξ表示他所种植的树中成活的棵数，则变量的可能取值是0，1，2，3，4，根据独立重复试验概率公式写出变量的分布列．

解答： 解：（1）由题意知ξ表示他所种植的树中成活的棵数，
当n=1，ξ=0，1，于是ξ的分布列为：

ξ	0	1
P	1-p	p

∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）²•（1-p）+（1-p）²•p=p-p²=-（p-

1

2

）²+

1

4

，
即当p=

1

2

时，Dξ有最大值

1

4

．
（2）每棵树是否成活互不影响，成活率为p得到ξ～B（n，p），
∴Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），
∴np=3，

np(1-p)

=

3

2

，
解得p=

3

4

，n=4．
∴P（ξ=k）=

C

k 4

(

3

4

)k(1-

3

4

)4-k，（k=0，1，2，3，4），
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	1 256	12 256	54 256	108 256	81 256

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，考查n次独立重复试验恰好发生k次的实验，考查二次函数的最值问题，考查利用概率知识解决实际问题，是一个综合题目．