Question

圆与椭圆有很多类似的性质，如圆的面积为πr²（r为圆的半径），椭圆的面积为πab（a，b分别为椭圆的长、短半轴的长）．某同学研究了下面几个问题：
（1）圆x²+y²=r²上一点（x₀，y₀）处的切线方程为x₀x+y₀y=r²，类似地，请给出椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点（x₀，y₀）处的切线方程（不必证明）；
（2）如图1，TA，TB为圆x²+y²=r²的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT=r²．如图2，TA，TB为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，请给出椭圆中的类似结论并证明．

（3）若过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上外一点M（s，t）作两条直线与椭圆切于A，B两点，且AB恰好过椭圆的左焦点，求证：点M在一条定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点（x₀，y₀）处的切线方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．
（2）TA，TB为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT=a²．设A（x₀，y₀），则直线AT的方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．令y=0，得点T的坐标为(

a2

x0

，0)，由此能证明OP•OT=a²．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则点A处的切线方程为

x1x

a2

+

y1y

b2

=1，点B处的切线方程为

x2x

a2

+

y2y

b2

=1，由此求出直线AB的方程，由直线AB过椭圆的左焦点，能证明点M在椭圆的左准线上．

解答： （1）解：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点（x₀，y₀）处的切线方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1…（2分）
（2）解：如图2，TA，TB为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的切线，A，B为切点，
OT与AB交于点P，则OP•OT=a²…（4分）
证明：设A（x₀，y₀），则直线AT的方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．
令y=0，得x=

a2

x0

，∴点T的坐标为(

a2

x0

，0)…（6分）
又点P的坐标为（x₀，0），∴OP•OT=|

a2

x0

|•|x0|=a2…（8分）
（3）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则点A处的切线方程为

x1x

a2

+

y1y

b2

=1，点B处的切线方程为

x2x

a2

+

y2y

b2

=1…（10分）
将点M（s，t）代入，得

x1s a2 + y1t b2 =1 x2s a2 + y2t b2 =1

，
∴直线AB的方程为

sx

a2

+

ty

b2

=1…（14分）
又∵直线AB过椭圆的左焦点，∴-

sc

a2

=1，则s=-

a2

c

，
∴点M在椭圆的左准线上．…（16分）

点评：本题考查切线方程的求法，考查类似结论的叙述并证明，考查点在椭圆左准线上的证明，解题时要认真审题，注意类比猜想能力的培养．