Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=

6

．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P-BCE的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接BD，AC交于O点，分别证明出PO⊥BD，BD⊥AC，根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）先证明出△ABD≌△PBD，求得PO，根据勾股定理证明出AC⊥PO，求得△PAC的面积，最后根据V_P-BCE=V_B-PEC=

1

2

V_B-PAC求得答案．

解答： （Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点，
∵PB=PD，
∴PO⊥BD，
又ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）则AC=2

3

，
∵△ABD和△PBD的三边长均为2，
∴△ABD≌△PBD，
∴AO=PO=

3

，
∴AO²+PO²=PA²，
∴AC⊥PO，
S_△PAC=

1

2

•AC•PO=3，
V_P-BCE=V_B-PEC=

1

2

V_B-PAC=

1

2

•

1

3

•S_△PAC•BO=

1

2

×

1

3

×3×1=

1

2

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定问题，三棱锥的体积计算．解题过程中注重了对学生基础定理的考查．