Question

如图，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC．求证：
（Ⅰ） PC∥平面BED；
（Ⅱ）△PBC是直角三角形．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先利用中位线的性质证明出 OE∥PC，进而根据线面平行的判定定理证明出 PC∥平面BDE．
（Ⅱ）先利用线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PDC，进而根据线面垂直的性质推断出 BC⊥PC，则△PBC的形状可判断．

解答： 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE．
在矩形ABCD中，AO=OC．
因为 AE=EP，
所以 OE∥PC．
因为 PC?平面BDE，OE?平面BDE，
所以 PC∥平面BDE．
（Ⅱ）在矩形ABCD中，BC⊥CD．
因为 PD⊥BC，CD∩PD=D，PD?平面PDC，DC?平面PDC，
所以 BC⊥平面PDC．
因为 PC?平面PDC，
所以 BC⊥PC．
即△PBC是直角三角形．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．