Question

（1）用综合法证明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求证a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,综合法与分析法(选修）

专题：综合题,反证法

分析：（1）由于已知 a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，相加后两边同时除以2，即得所证．
（2）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．

解答： 证明：（1）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
相加可得 2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）；
（2）设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a+b+c≤0，
而a+b+c=（x²-2y+

π

2

）+（y²-2z+

π

3

）+（z²-2x+

π

6

）
=（x²-2x）+（y²-2y）+（z²-2z）+π=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∴a+b+c＞0，
这与a+b+c≤0矛盾，
故假设是错误的，
故a、b、c中至少有一个大于0．

点评：本题主要考查用综合法和反证法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．