Question

在平面直角坐标系中，点P到两点F₁（0，-

3

)，F₂（0，

3

)的距离之和等于4，动点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点，当OA⊥OB（O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），由椭圆定义知，点P的轨迹是以两点F₁（0，-

3

)，F₂（0，

3

)为焦点，a=2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（2）联立

y=kx+1 y2 4 +x2=1

，得（k²+4）x²+2kx-3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA⊥OB，能求出k的值．

解答： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义知，
点P的轨迹是以两点F₁（0，-

3

)，F₂（0，

3

)为焦点，a=2的椭圆，
∴b²=4-3=1．
∴曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（2）联立

y=kx+1 y2 4 +x2=1

，得（k²+4）x²+2kx-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+1

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=

-4k2+1

k2+4

=0，
解得k=±

1

2

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的灵活运用．