Question

如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）求证：AB∥平面DEF；
（2）求二面角B-DF-E的余弦值；
（3）当点P在线段BC什么位置时，AP⊥DE？并求点C到平面DEP的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证明线面平行，在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．
（2）要求二面角的余弦，找出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．

解答： （1）证明：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF．
∴AB∥平面DEF．
（2）解：∵AD⊥CD，BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD
∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD
∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=

3

2

，EN=

7

2

，
∴cos∠MNE=

21

7

．
∴二面角B-DF-E的余弦值为-

21

7

；
（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE
证明如下：在线段BC上取点P．使BP=

1

3

BC，
过P作PQ⊥CD于Q，
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
∴DQ=

1

3

DC=

2 3

3

，
∴tan∠DAQ=

DQ

AD

=

3

3

，∴∠DAQ=30°
在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE
∵PQ⊥平面ACD
∴AP⊥DE．AQ∩AP=A
∴DE⊥平面APQ，
∴AP⊥DE．
此时BP=

1

3

BC．

点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面所成的角，其中熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的相互转化及线面夹角的定义，是解答本题的关键．