Question

如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且EA=2FD．
（Ⅰ）求证：CB⊥平面ABE；
（Ⅱ）连接AC，BD交于点O，取EC中点G．证明：FG∥平面ABCD；
（Ⅲ）若EA=AB，求异面直线FC，BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）利用正方形的性质、线面垂直的判定和性质定理即可得出；
（II）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理即可得出；
（III）取EA的中点H，连接BH，DH，FH．可得四边形ADFH为平行四边形，四边形BHFC也是平行四边形．可得CF∥BH．于是∠DBH或其补角即为异面直线FC，BD所成角，再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出．

解答： （I）证明：∵EA⊥底面ABCD，且BC?面ABCD，
∴EA⊥BC．
正方形ABCD 中，AB⊥BC，EA∩AB=A，
∴CB⊥平面ABE．
（Ⅱ）证明：连接线段OG．
在三角形AEC中，∵EG=GC，AO=OC，
∴中位线OG∥AE，且AE=2OG
∵EA=2FD，且EA∥DF，
∴OG∥DF且OG=DF，
∴平面四边形DOGF为平行四边形，
∴FG∥OD，
又∴FG?ABCD，OD?ABCD，
∴FG∥面ABCD．
（3）解：取EA的中点H，连接BH，DH，FH．
可得四边形ADFH为平行四边形，因此四边形BHFC也是平行四边形．
∴CF∥BH．
则∠DBH或其补角即为异面直线FC，BD所成角，
设EA=AB=2，则BD=2

2

，BH=

BA2+AH2

=

5

，同理DH=

5

，
连接HO，则∠HBO即为所求角，sin∠DBH=

HO

HB

=

3

5

=

15

5

．

点评：本题综合考查了正方形的性质、线面垂直与平行的判定和性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、异面直线所成角、勾股定理和直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，考查了辅助线的作法，考查了空间想象能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．