Question

已知|x-2y|=5，求证：x²+y²≥5．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：选作题,不等式

分析：根据柯西不等式，得5（x²+y²）≥|x-2y|²，结合已知等式|x-2y|=5，得x²+y²≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可．

解答： 证明：由柯西不等式，得（x²+y²）[1²+（-2）²]≥（x-2y）²
即5（x²+y²）≥（x-2y）²=|x-2y|²
∵|x-2y|=5，
∴5（x²+y²）≥25，化简得x²+y²≥5．
当且仅当2x=-y时，即x=-1，y=2时，x²+y²的最小值为5
∴不等式x²+y²≥5成立．

点评：本题给出条件等式，叫我们证明不等式恒成立，考查了运用柯西不等式证明不等式恒成立和不等式的等价变形等知识，属于基础题．