Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（-

2

，1），长轴长为2

5

，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是-

1

2

，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆长轴长为2

5

，求出a，利用椭圆过点（-

2

，1），代入椭圆方程，求出b，即可得出椭圆的方程；
（2）设直线方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，可得（3k²+1）x²+6k²x+6k²x+3k²-5=0，利用线段AB中点的横坐标是-

1

2

，结合韦达定理，即可求直线l的斜率．

解答： 解：（1）∵椭圆长轴长为2

5

，∴a=

5

，
又∵椭圆过点（-

2

，1），代入椭圆方程得b²=

5

3

，
∴椭圆方程为

x2

5

+

y2

5 3

=1
即x²+3y²=5…..（5分）
（2）∵直线过点C（-1，0）且斜率为k，
设直线方程为y=k（x+1）
代入椭圆方程，可得（3k²+1）x²+6k²x+6k²x+3k²-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵线段AB中点的横坐标是-

1

2

，
∴x₁+x₂=

-6k2

3k2+1

=-1，
∴k=±

3

3

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．