Question

已知抛物线D的顶点是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合
（1）求抛物线D的方程；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物D于A，B两点，坐标原点O为PQPQ中点，求证∠AQP=∠BQP．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得c=1．由此能求出抛物线D的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时由抛物线的对称性知∠AQP=∠BQP，当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），代入抛物线方程，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能够证明∠AQP=∠BQP．

解答： （1）解：由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2．
∴抛物线D的方程为y²=4x．…
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP=∠BQP，
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），
代入抛物线方程，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴x₁+x₂=

4(2k2+1)

k2

，x₁x₂=16，
∵k_AQ=

y1

x1+4

，k_BQ=

y2

x2+4

，
∴k_AQ+k_BQ=

k(2x1x2-32)

(x1+4)(x2+4)

=0，
∴∠AQP=∠BQP．
综上证知，∠AQP=∠BQP．

点评：本题考查抛物线方程的求法，直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．