Question

已知a＞0，f（x）=xln（x+a）（x＞0），g（x）=

2f(x)+a

x

；
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=2时，?x₀∈90，+∞），使f（x₀）=bx₀-1成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的不等式g（x）≤1+ln（3a+1）在（0，+∞）有解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，通过解不等式从而求出单调区间；
（Ⅱ）由已知得方程xln（x+2）=bx-1在（0，+∞）有实数根，等价于求；b=h（x）=ln（x+2）+

1

x

在（0，+∞）的值域； 当a=2时，g（x）=2ln（x+2）+

2

x

=2h（x），h（x）=

1

2

g（x），从而h（x）_min=h（2）=2ln2+

1

2

，进而求出b的取值范围为[2ln2+

1

2

，+∞）；
（ III）由（ I）得g（x）在（0，a）的单调递减，在（a，+∞）单调递增，从而g（x）≥g（a）=1+2ln2a，进而ln（3a+1）≥2ln2a?3a+1≥4a²则4a²-3a-1≤0，（4a+1）（a-1）≤0，又0＜a≤1，最后b的取值范围为（0，1]．

解答： 解：（ I）∵g（x）=2ln（x+a）+

a

x

，函数g（x）的定义域是（0，+∞）
当0＜x＜a时，g′（x）＜0，当x＞a时，g′（x）＞0，
∴g′（x）=

(2x+a)(x-a)

x2(x+a)

，
∴g（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
（ II）由已知得方程xln（x+2）=bx-1在（0，+∞）有实数根，等价于求；
b=h（x）=ln（x+2）+

1

x

在（0，+∞）的值域； 
当a=2时，g（x）=2ln（x+2）+

2

x

=2h（x），h（x）=

1

2

g（x），
∴h（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，h（x）_min=h（2）=2ln2+

1

2

，
又h（x）→+∞则h（x）的值域为[2ln2+

1

2

，+∞），
∴b的取值范围为[2ln2+

1

2

，+∞）；
（ III）由（ I）得g（x）在（0，a）的单调递减，在（a，+∞）单调递增
∴g（x）≥g（a）=1+2ln2a，
要使关于x的不等式g（x）≤1+ln（3a+1）在（0，+∞）有解，
只需1+ln（3a+1）≥1+2ln2a成立即可，
∴ln（3a+1）≥2ln2a?3a+1≥4a²
则4a²-3a-1≤0，（4a+1）（a-1）≤0，
又a＞0，∴0＜a≤1，
∴a的取值范围为（0，1]．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，求参数的取值范围，是一道综合题．