Question

已知阶矩阵A=

1 2 2 1

，向量β=

2 2

（1）求阶矩阵A的特征值和特征向量；
（2）计算A²β

Answer 1

考点：特征向量的定义,矩阵特征值的定义

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）利用特征多项式，求特征值，进而可求特征向量；
（2）令β=m

α1

+n

α2

，则可得m=2，n=0，即可求出结论．

解答： 解：（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）=（λ-3）（λ+1）
令f（λ）=0 解得A的特征值λ₁=3，λ₂=-1 …（6分）
当λ₁=3 时，代入二元一次方程组

(λ-1)x-2y=0 -2x+(λ-1)y=0

解得

x=1 y=1

，
∴特征值λ₁=3 时的一个特征向量为

α1

=

1 1

；…（8分
当λ₂=-1时，同理可得特征值λ₂=-1 时的一个特征向量为

α2

=

1 -1

…（10分）
（2）由（1）知

α1

=

1 1

，

α2

=

1 -1

令β=m

α1

+n

α2

，则可得m=2，n=0 …（14分）
∴A2β=A2(2α1-0α2)=2(A2α1)=2×3²

α1

=

18 18

…（16分）

点评：本题考查特征值与特征向量，解题的关键是确定特征多项式，属于基础题．