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    如图，在△ABC中，AB=4，AC=1，∠BAC=60°．
    （1）求BC的长和sin∠ACB的值；
    （2）延长AB到M，延长AC到N，连结MN，若四边形BMNC的面积为3
    		3
    ，求
    BM
    •
    CN
    的最大值．
    考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理
    专题：平面向量及应用
    分析：对第（1）问，已知两边和这两边的夹角，考虑用余弦定理，再用正弦定理求sin∠ACB的值；
    对第（2）问，利用三角形面积公式“S=
    1
    2
    absinC    ”，将四边形BMNC的面积转化为△AMN的面积与△ABC的面积之差，从而建立方程，得到|
    AM
    ||
    AN
    |    及
    AM
    •
    AN
    的值，将
    BM
    •
    CN
    用|
    AM
    |    ，|
    AN
    |    表示，再探求其最大值．
    解答： 解：（1）由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC
    =42+12-2×4×1×cos60°=13，
    ∴BC=
    		13
    ．
    ∵sin∠BAC=sin60°=
    		3
    2
    ，∴由正弦定理得
    BC
    sin∠BAC
    =
    AB
    sin∠ACB
    ，
    即
    		13
    		3
    2
    =
    4
    sin ∠ACB
    ，得sin∠ACB=
    2
    		39
    13
    ．
    （2）S四边形BMNC=S△AMN-S△ABC=
    1
    2
    (|
    AM
    |
    AN
    -|
    AB
    ||
    AC
    |)sin∠BAC=3
    		3
    ，
    将|
    AB
    |=4    ，|
    AC
    |=1    ，∠BAC=60°代入上式，得|
    AM
    ||
    AN
    |=16    ，
    于是
    AM
    •
    AN
    =|
    AM
    ||
    AN
    |cos∠BAC    =16×
    1
    2
    =8    ．
    又
    AB
    •
    AC
    =|
    AB
    ||
    AC
    |cos∠BAC    =4×1×cos60°=2，
    ∴
    BM
    •
    CN
    =(
    AM
    -
    AB
    )•(
    AN
    -
    AC
    )    =
    AM
    •
    CN
    +
    AB
    •
    AC
    -    (
    AB
    •
    AN
    +
    AM
    •
    AC
    )
    =10-(2|
    AN
    +
    1
    2
    |
    AM
    |)    ≤10-2
    		2|
    AN
    |•
    1
    2
    |
    AM
    |
    =10-2
    		16
    =2    ，即
    BM
    •
    CN
    ≤2，
    当且仅当2|
    AN
    |=
    1
    2
    |
    AM
    |    ，即|
    AM
    |=4|
    AN
    |    时，联立|
    AM
    ||
    AN
    |=16    ，得
    |
    AM
    |=8
    |
    AN
    |=2
    时，
    BM
    •
    CN
    =2，
    ∴
    BM
    •
    CN
    的最大值为2．
    点评：1．本题考查了正、余弦定理，已知两边及其中一边的对角，或已知两角及任意一边，可使用正弦定理；已知两边及这两边的夹角，或已知三边，可用余弦定理．
    2．向量的数量积运算在本题中运用较为灵活，可用于求模，求夹角，还可以通过模或角与三角形面积公式联系．
    3．运用基本不等式求解最值问题时，应注意“一正，二定，三相等”，尤其是取“=”号的条件．
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    （1）求证：AB∥平面DEG；
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    		2
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    π
    4
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    （1）圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y=r2，类似地，请给出椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）上一点（x0，y0）处的切线方程（不必证明）；
    （2）如图1，TA，TB为圆x2+y2=r2的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT=r2．如图2，TA，TB为椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）上的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，请给出椭圆中的类似结论并证明．

    （3）若过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）上外一点M（s，t）作两条直线与椭圆切于A，B两点，且AB恰好过椭圆的左焦点，求证：点M在一条定直线上．

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    已知阶矩阵A=
    12
    21
    ，向量β=
    2
    2

    （1）求阶矩阵A的特征值和特征向量；
    （2）计算A2β

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    （1）求证：CE⊥DF； 
    （2）求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

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    已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，有一个顶点为A（-4，0），
    2a2
    c
    =16．
    （1）求椭圆C的方程：
    （2）过点B（-1，0）作直线l与椭圆C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．

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