Question

已知函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式m²-m＜f（x），?x∈R都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）原不等式等价于

x＜ 1 2 4-4x≤5

①，或

1 2 ≤x≤ 3 2 2≤5

②，或

x＞ 3 2 4x-4≤5

③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得 m²-m＜2，由此解得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）原不等式等价于

x＜ 1 2 4-4x≤5

 ①，或

1 2 ≤x≤ 3 2 2≤5

②，或

x＞ 3 2 4x-4≤5

③．
解①求得-

1

4

≤x＜

1

2

，解②求得

1

2

≤x≤

3

2

，解③求得

3

2

＜x≤

9

4

，
因此不等式的解集为[-

1

4

，

9

4

]．
（2）∵f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
∴m²-m＜2，解得-1＜m＜2，
即实数m的取值范围为（-1，2）．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．