Question

已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px，（p＞0）上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由点A（2，8）在抛物线y²=2px，（p＞0）上，利用待定系数法能求出抛物线方程．
（2）由已知条件知F（8，0）是线段AM的定比分点，且

AF

FM

=2，由此能求出点M的坐标．
（3）设BC的直线为：y+4=k（x-11），（k≠0），由

y+4=k(x-11) y2=32x

，得ky²-32y-32（11k+4）=0，由此能求出BC所在的直线方程．

解答： 解：（1）∵点A（2，8）在抛物线y²=2px，（p＞0）上，
∴64=4p，解得p=16，
∴抛物线方程为y²=32x，焦点F的坐标为F（8，0）．
（2）如图，∵F（8，0）是△ABC的重心，M是BC中点，
∴F是线段AM的定比分点，且

AF

FM

=2，
设点M的坐标为（x₂，y₂），
则

2+2x2

1+2

=8，

8+2y2

1+2

=0，
解得x₂=11，y₂=-4，
∴点M的坐标为M（11，-4）．
（3）∵线段BC的中点M不在x轴上，
∴BC所在的直线不垂直于x轴，设BC的直线为：y+4=k（x-11），（k≠0），
由

y+4=k(x-11) y2=32x

，得ky²-32y-32（11k+4）=0，
∴y1+y2=

32

k

，
由（2）的结论得

y1+y2

2

=-4，解得k=-4．
∴BC所在的直线方程为4x+y-40=0．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查线段中点坐标的求不法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意定比分点公式的合理运用．