Question

已知

a

=（2cos

x

2

，1），

b

=（sin

x

2

，0），f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若将f（x）的图象平移

2π

3

个单位（可向上、下、左、右平移，且仅可选择一种方向平移一次）得到g（x），求h（x）=f（x）g（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意利用两个向量的数量积公式可得 f（x）=

a

•

b

=sinx，从而求得函数的增区间．
（Ⅱ）按方案①，把f（x）的图象向上平移

2π

3

个单位，求出g（x）以及h（x）取得最小值．按方案②，把f（x）的图象向下平移

2π

3

个单位，求出g（x）以及h（x）取得最小值．按方案③，把f（x）的图象向左平移

2π

3

个单位，求出g（x）以及h（x）取得最小值．按方案④，把f（x）的图象向右平移

2π

3

个单位，求出g（x）以及h（x）取得最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得 f（x）=

a

•

b

=2cos

x

2

•sin

x

2

=sinx，故函数的增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z．
（Ⅱ）方案①若把f（x）的图象向上平移

2π

3

个单位，得到g（x）=sinx+

2π

3

，
∴h（x）=sinx（sinx+

2π

3

）=(sinx+

π

3

)2-

π2

9

，
∴当sinx=-1，即 x=2kπ-

π

2

，k∈z时，h（x）取得最小值为 1-

2π

3

．
方案②若把f（x）的图象向下平移

2π

3

个单位，得到g（x）=sinx-

2π

3

，
∴h（x）=sinx（sinx-

2π

3

）=(sinx-

π

3

)2-

π2

9

，
∴当sinx=1时，即 x=2kπ+

π

2

，k∈z时，h（x）取得最小值为 1-

2π

3

．
方案③若把f（x）的图象向左平移

2π

3

个单位，得到g（x）=sin（x+

2π

3

），
∴h（x）=sinx•sin（x+

2π

3

）=sinx（-

1

2

sinx+

3

2

cosx）=-

1-cos2x

4

+

3

4

sin2x=

1

2

sin（2x+

π

6

）-

1

4

，
∴当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，即 x=kπ-

π

3

，k∈z时，h（x）取得最小值为-

3

4

．
方案④若把f（x）的图象向右平移

2π

3

个单位，得到g（x）=sin（x-

2π

3

），
∴h（x）=sinx•sin（x-

2π

3

）=sinx（-

1

2

sinx-

3

2

cosx）=-

1-cos2x

4

-

3

4

sin2x=

1

2

sin（2x-

π

6

）-

1

4

，
∴当2x-

π

6

=2kπ-

π

2

，即 x=kπ+

π

3

，k∈z时，h（x）取得最小值为-

3

4

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、正弦函数的增区间、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了分类讨论的数学思想．