Question

如图，曲线C由半椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0）与圆弧x²+（y-c）²=a²（y≤0）组成的，F（0，c）为半椭圆的一个焦点，A₁、A₂和B₁、B₂分别是曲线C与x轴、y轴交点，已知椭圆的离心率e=

1

2

，S △FA1B1=

3

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）过点F且不与x轴垂直的直线l交曲线C于P、Q两点．
（i）求证：当且仅当P，Q均在半椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0）上时，△B₁PQ的周长L取最大，且最大值为8；
（ii）当△B₁PQ的周长L取最大时，求弦PQ长度的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c a = 1 2 1 2 •2b•c= 3 a2=b2+c2

，由此能求出结果．
（Ⅱ）（i）设直线l的斜率为k．当-

3

3

≤k≤

3

3

时，P，Q均在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，x≥0上，△B₁PQ的周长L=|B₁Q|+|FQ|+|FP|+|B₁P|=4a=8；当k＜-

3

3

或k＞

3

3

时，P，Q其一在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1（x≥0）上，另一在圆弧x²+（y-c）²=a²（y≤0）上，由此求出△B₁PQ的周长L=|B₁Q|+|FQ|+|FP|+|B₁P|＜8，从而得到证明．
（ii）解：由（i）知△B₁PQ的周长L取最大时-

3

3

≤k≤

3

3

．设PQ的方程为y=kx+1（-

3

3

≤k≤

3

3

），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1

，得（4+3k²）x²+6kx-9=0，由此能求出弦PQ长度的取值范围是[3，

16

5

]．

解答： （Ⅰ）解：依题意得

c a = 1 2 1 2 •2b•c= 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=

3

，c=1．
（Ⅱ）（i）证明：设直线l的斜率为k．
当-

3

3

≤k≤

3

3

时，P，Q均在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，x≥0上，
∴△B₁PQ的周长L=|B₁Q|+|FQ|+|FP|+|B₁P|=4a=8，（6分）
当k＜-

3

3

或k＞

3

3

时，P，Q其一在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1（x≥0）上，
另一在圆弧x²+（y-c）²=a²（y≤0）上，设直线l的倾斜角为α．
若k＞

3

3

，则30°＜α＜90°，
∴△B₁PQ的周长
L=|B₁Q|+|FQ|+|FP|+|B₁P|
=2a+r+2rsin（45°-

α

2

）=6+4sin（45°-

α

2

），
∵0°＜45°-

α

2

＜30°，∴0＜sin（45°-

α

2

）＜

1

2

，
∴L=6+4sin（45°-

α

2

）＜8，（8分）
若k＜-

3

3

时，则90°＜α＜150°，
∴△B₁PQ的周长
L=|B₁Q|+|FQ|+|FP|+|B₁P|
=2a+r+2rsin（

α

2

-45°）=6+4sin（

α

2

-45°），
∵0°＜

α

2

-45°＜30°，∴0＜sin（

α

2

-45°）＜

1

2

，
∴L=6+4sin（

α

2

-45°）＜8，．
∴当且仅当P，Q均在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，x≥0上时，△B₁PQ的周长L取最大，
且最大值为8．（9分）
（ii）解：由（i）知：当且仅当P，Q均在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，x≥0上时，
△B₁PQ的周长L取最大，且最大值为8．此时-

3

3

≤k≤

3

3

．
设PQ的方程为y=kx+1（-

3

3

≤k≤

3

3

），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1

，得（4+3k²）x²+6kx-9=0，
△＞0，x1+x2=-

6k

4+3k2

，x1x2=

-9

4+3k2

，（11分）
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2 (4+3k2)2 + 36 4+3k2 ]

=

36•4(k2+1)2 (4+3k2)2

=

12(k2+1)

4+3k2

=4（1-

1

4+3k2

），
∵k2∈[0，

1

3

]，∴|PQ|∈[3，

16

5

]，∴弦PQ长度的取值范围是[3，

16

5

]．（14分）

点评：本题考查椭圆中参数的求法，考查三角形周长的最大值满足的条件的证明，考查弦长的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．