Question

已知圆O：x²+y²=4．
（1）直线l₁：

3

x+y-2

3

=0与圆O相交于A、B两点，求|AB|；
（2）如图，设M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M₁，点M关于x轴的对称点为M₂，如果直线PM₁、PM₂与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）过O点任作一直线与直线x=4交于E点，过（2，0）点作直线与OE垂直，并且交直线x=4于F点，以EF为直径的圆是否过定点，如过定点求出其坐标，如不过，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）先求出圆心（0，0）到直线：

3

x+y-2

3

=0的距离，再利用弦长公式求得弦长AB的值．
（2）先求出M₁和点M₂的坐标，用两点式求直线PM₁ 和PM₂的方程，根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值，计算mn的值，可得结论．
（3）设直线OE的方程为y=kx，且E（4，4k），设与OE垂直的直线l：  y=-

1

k

(x-2)，由此利用已知条件能推导出以EF为直径的圆过定点(4±2

2

，0)．

解答： 解：（1）∵圆O：x²+y²=4圆心的圆心O（0，0），半径r=2，
圆心O（0，0）到直线l₁：

3

x+y-2

3

=0的距离d=

|0+0-2 3 |

3+1

=

3

．
∴|AB|=2

22-( 3 )2

=2．…4分
（2）∵M（x₁，y₁）、p（x₂，y₂）是圆O上的两个动点，
∴M₁（-x₁，-y₁），N（x₁，-y₁），且x12+y12=4，x22+y22=4，…（6分）
根据PM₁的方程为

y+y1

y2+y1

=

x+x1

x2+x1

，令x=0，得y=m=

x1y2-x2y1

x2+x1

．
根据PM₂的方程为：

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

，令x=0，得y=n=

-x1y2-x2y1

x2-x1

．…（8分）
∴m•n=

x22y12-x12y22

x22-x12

=

x22(4-x12)-x12(4-x22)

x12-x22

=4，
∴m•n为定值4．…（10分）
（3）解：设直线OE的方程为y=kx，且E（4，4k）
设与OE垂直的直线为l∴l：  y=-

1

k

(x-2)
令x=4，  y=-

2

k

∴F(4，-

2

k

)…（12分）
设M（x₀，y₀）为圆上一点，以EF为直径，
∴

ME

•

MF

=0，∴(4-x0)2+(4k-y0)•(-

2

k

-y0)=0…（14分）
由对称性可知，定点必在x轴上，∴y₀=0，
即(4-x0)2-4k•

2

k

=0，∴x0=4±2

2

，
∴以EF为直径的圆过定点(4±2

2

，0)．…（16分）

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，考查圆是否过定点的判断及定点坐标的求法．