Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M，N是该椭圆上关于原点对称的点，M，N异于B点，直线MB与直线NB的斜率分别为K₁，k₂，计算K₁•k₂的值；
（3）若直线MB，直线NB分别与直线x=6相交C，D两点，证明以CD为直径的圆恒经过定点，并且求定点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

a=2 e= c a = 3 2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设M（x₁，y₁），B（x₀，y₀），则N（-x₁，-y₁），由此能求出k₁k₂=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y02-y12

x02-x02

=-

1

4

．
（3）假设x₁＞0，y₁＞0，直线BM：

y

x-2

=

y1

x1-2

，把x=6代入，得：C（6，

4y1

x1-2

），直线BN：

y

x-2

=

-y1

-x1-2

，把x=6代入，得：D（6，

4y1

x1+2

），由此求出以CD为直径的圆的圆心O（6，-

x1

y1

），半径r=

1

2

|CD|=

2

y1

，从而能够证明以CD为直径的圆恒经过定点，定点坐标为（4，0）．

解答： （1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点
分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=

3

2

，
∴

a=2 e= c a = 3 2

，解得a=2，c=

3

，b²=4-3=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）解：设M（x₁，y₁），B（x₀，y₀），
∵M，N是该椭圆上关于原点对称的点，M，N异于B点，
∴N（-x₁，-y₁），|x₁|≠|x₀|，
∴k1=

y0-y1

x0-x1

，k2=

y0+y1

x0+x1

，
k₁k₂=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y02-y12

x02-x02

，
∵M（x₁，y₁），B（x₀，y₀）都是椭圆

x2

4

+y2=1上的点，
∴

x12 4 +y12=1 x02 4 +y02=1

，两式相减，得：

x02-x12

4

+(y02-y12)=0，
∴k₁k₂=

y02-y12

x02-x02

=-

1

4

．
（3）证明：假设x₁＞0，y₁＞0，直线BM：

y

x-2

=

y1

x1-2

，把x=6代入，得：C（6，

4y1

x1-2

），
直线BN：

y

x-2

=

-y1

-x1-2

，把x=6代入，得：D（6，

4y1

x1+2

），
∴|CD|=

4y1

x1+2

-

4y1

x1-2

=

-16y1

x12-4

=

-16y1

-4y12

=

4

y1

，
∵

1

2

(

4y1

x1-2

+

4y1

x1+2

)=

2y1

x1-2

+

2y1

x1+2

=

4x1y1

x12-2

=

4x1y1

-4y12

=-

x1

y1

，
∴以CD为直径的圆的圆心O（6，-

x1

y1

），半径r=

1

2

|CD|=

2

y1

，
∵点（4，0）到圆心O（6，-

x1

y1

）的距离：
d=

(6-4)2+(- x1 y1 )2

=

4+ x12 y12

=

4y12+x12 y12

=

2

y1

=r，
∴以CD为直径的圆恒经过定点，定点坐标为（4，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率乘积的求法，考查圆过定点的证明，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．