Question

如图，离心率为

2

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线l：x=-2相切于点A（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OA是圆C的直径，P（x₀，y₀）（x₀＞0）为椭圆上的动点，过P作圆C的两条切线，分别交直线l于点M、N，求当

PM

•

PN

取得最小值时P点的横坐标x₀．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题：a=2，利用离心率为

2

2

，求出c，从而可求b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）切线PM、PN的斜率均存在，设为k₁、k₂，利用直线PM、PN与圆C相切，可得k₁、k₂是关于k的方程(x02+2x0)k2-2y0(x0+1)k+y02-1=0的两个根，利用向量表示出

PM

•

PN

，构建函数，利用函数的性质，即可求当

PM

•

PN

取得最小值时P点的横坐标x₀．

解答： 解：（Ⅰ）由题：a=2，又e=

c

a

=

2

2

，∴c=

2

，从而b=

2

∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．          …．（4分）
（Ⅱ）由题意，圆C的方程为（x+1）²+y²=1．
∵x₀＞0，∴切线PM、PN的斜率均存在，设为k₁、k₂，
则直线PM：y-y₀=k₁（x-x₀），
由其与圆C相切得：

|(x0+1)k1-y0|

1+k12

=1，…（6分）
化简得：(x02+2x0)k12-2y0(x0+1)k1+y02-1=0
同理：(x02+2x0)k22-2y0(x0+1)k2+y02-1=0
∴k₁、k₂是关于k的方程(x02+2x0)k2-2y0(x0+1)k+y02-1=0的两个根△=[-2y0(x0+1)]2-4(x02+2x0)(y02-1)=4(x02+2x0+y02)＞0恒成立．
k1+k2=

2y0(x0+1)

x02+2x0

，k₁k₂=

y02-1

x02+2x0

，…．（9分）
M（-2，y₀-（2+x₀）k₁），N（-2，y₀-（2+x₀）k₂），
∴

PM

=(-2-x0，-（2+x₀）k₁），

PN

=(-2-x0，-（2+x₀）k₂），
∴

PM

•

PN

=(2+x0)2+(2+x0)2k1k2=(2+x0)2[1+

y02-1

x02+2x0

]=

(x0+2)(x02+4x0+2)

2x0

=f（x₀）…．（12分）
f′(x0)=

x03+3x02-2

x02

=

x0+1

x02

(x0+

3

+1)(x0-

3

+1)，x₀∈（0，2]
∴f（x₀）在（0，

3

-1)上单调递减，在(

3

-1，2]上单调递增，
∴当x₀=

3

-1时，f（x₀）取得最小值，即

PM

•

PN

取得最小值．   …．（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，综合性强．