Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n=

Sn

n(2n-1)

，且a₁=

1

3

．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用已知条件通过n=2，3，4，直接计算a₂，a₃，a₄的值，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a_n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）a₂=

1

3×5

；a₃=

1

5×7

；a₄=

1

7×9

…（3分）
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

…（6分）
下面用数学归纳法进行证明：
（1）当n=1时，a₁=

1

3

，猜想成立．…（7分）
（2）假设当n=k时，a_k=

1

(2k-1)(2k+1)

成立，…（8分）
则当n=k+1时，由a_k+1=

Sk+1

(k+1)(2k+1)

，得S_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1，
由a_k=

Sk

k(2k-1)

，得S_k=k（2k-1）a_k，…（10分）
两式作差得：S_k+1-S_k=（k+1）（2k+1）a_k+1-k（2k-1）a_k，
即a_k+1=

1

(2k+1)(2k+3)

，所以猜想成立．…（13分）
综上所述，对一切正的自然数都有a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

．…（14分）

点评：本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．