Question

如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°．点E在BD上，且DE=

1

3

DB．
（Ⅰ）求证：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设DE=a，由已知条件利用余弦定理求出CD=

3

a，CE=a，从而得到∠BCE=90°，由此能证明EC⊥平面ABC，从而得到EC⊥AB．
（Ⅱ）取BC中点O，BE中点F，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz，利用向量法能求出二面角A-CD-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：△DCB中，CB=CD，∠DCB=120°，
∴∠CDB=30°，设DE=a，∵DE=

1

3

DB．∴BD=3a，解得CD=

3

a，
在△CDE中，由余弦定理，得：CE=

3a2+a2-2 3 a2•cos30°

=a，
∴∠DCE=30°，∴∠BCE=90°，∴EC⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，交线为BC，
∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．
（Ⅱ）解：取BC中点O，BE中点F，连结OA，OF，
∵AC=AB，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，交线为BC，
∴AO⊥平面BCD，
∵O是BC中点，F是BE中点，
∴OF∥EC，由（1）知，EC⊥BC，∴OF⊥BC，
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz，
设DE=2，得A（0，0，1），B（0，

3

，0），
C（0，-

3

，0），D（3，-2

3

，0），
∴

AC

=(0，-

3

，-1)，

CD

=(3，-

3

，0)，
设平面ACD的法向量

n1

=（1，

3

，-3），
又平面BCD的法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

-3

13

=-

3 13

13

，
∴二面角A-CD-B的余弦值为

3 13

13

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．