Question

已知数列{x_n}，满足x₁=4，x_n+1=

xn

2

+

2

xn

，a_n=lg

xn+2

xn-2

（1）证明：数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）若b_n=x_n-2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜3．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由数列递推式x_n+1=

xn

2

+

2

xn

得到

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2，借助于对数的运算性质得到数列{a_n}成等比数列，进一步求得数列{x_n}的通项公式；
（2）把数列{x_n}的通项公式代入b_n=x_n-2，求得b_n＞0，结合

bn+1

bn

＜

1

3

放缩证得T_n＜3．

解答： 证明：（1）由x_n+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

xn

2

+

2

xn

+2=

(xn+2)2

2xn

，
同理xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

．
故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2，从而lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，
即a_n+1=2a_n．
∴数列{a_n}成等比数列，
故an=2n-1a1=2n-1lg

x1+2

x1-2

=2^n-1lg3．
即lg

xn+2

xn-2

=2n-1lg3．
从而

xn+2

xn-2

=32n-1，
∴xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

；
（2）由（1）知xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

，
∴bn=xn-2=

4

32n-1-1

＞0，
∴

bn+1

bn

=

32n-1-1

32n-1

=

1

32n-1+1

＜

1

32n-1

≤

1

321-1

=

1

3

．
当n=1时，显然T₁=b₁=2＜3；
当n＞1时，bn＜

1

3

bn-1＜(

1

3

)2bn-2＜…＜(

1

3

)n-1b1，
∴Tn=b1+b2+…+bn＜b1+

1

3

b1+…+(

1

3

)n-1b1
=

b1[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=3-(

1

3

)n-1＜3．
综上，T_n＜3．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用放缩法证明数列不等式，综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是中高档题．