Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

1+an

（n∈N⁺）
（1）分别求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用已知条件通过n=2，3，4，直接计算a₂，a₃，a₄的值，
（2）根据（1）的计算结果，猜想的通{a_n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

解答： 解：（1）a2=

a1

1+a1

=

1

2

，a3=

a2

1+a2

=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，a4=

a3

1+a3

=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

…（3分）
（2）猜想an=

1

n

(n∈N+)…（5分）
①当n=1时命题显然成立
②假设n=k（k∈N^*）命题成立，即ak=

1

k

当n=k+1时，a_k+1=

ak

1+ak

=

1

k+1

…（7分）
∴n=k+1时命题成立
综合①②当n∈N^*时命题成立…（10分）

点评：本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．