Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ） 求异面直线CB₁与C₁A₁所成的角余弦值．
（Ⅱ） 求证：A₁B∥平面ADC₁；

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）∠ACB₁即为异面直线CB₁与C₁A₁所成的角，解三角形可得异面直线CB₁与C₁A₁所成的角余弦值；
（Ⅱ）利用三角形中位线的性质，证明A₁B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A₁B∥平面AC₁D；

解答： 解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴C₁A₁∥CA，
故∠ACB₁即为异面直线CB₁与C₁A₁所成的角，
连接AB₁，设AB=AC=AA₁=a，

∵侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
∴BC=AB₁=

2

a，CB₁=

3

a，
则△ACB₁为直角三角形，
故cos∠ACB₁=

AC

CB1

=

3

3

，
证明：（Ⅱ）连结A₁C，交AC₁于点O，连结OD
因为ACC₁A₁为正方形，
所以O为AC₁中点
又D为BC中点，
所以OD为△A₁BC中位线
所以A₁B∥OD   …（6分）
因为OD?平面AC₁D，AB₁?平面AC₁D
所以A₁B∥平面AC₁D…（8分）
 

点评：本题考查线面夹角，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．