Question

数列{a_n}满足a₁=

5

2

，a_n+1=

5an-8

2an-3

（n∈N^*），b_n=

1

an-2

（Ⅰ）证明：数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）已知c_n=b_n（-

9

10

）ⁿ，求数列{c_n}的最大项为第几项；
（Ⅲ）设S_n为{b_n}的前n项和，d_n=[

Sn

n+4

]，其中[x]为不超过x的最大整数，求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：

分析：（Ⅰ）a_n+1-2=

5an-8

2an-3

-2=

an-2

2an-3

，两边取倒数可得

1

an+1-2

=

1

an-2

+2，即b_n+1=b_n+2，由此可得结论；
（Ⅱ）易求b_n，c_n，可知n为偶数，假设第n项最大，不考虑负号，则

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，即

2n•( 9 10 )n≥2(n-1)•( 9 10 )n-1 2n•( 9 10 )n≥2(n+1)•( 9 10 )n+1

，可解得9≤n≤10，从而可得答案；
（Ⅲ）d_n=[

Sn

n+4

]=[

n(n+1)

n+4

]=[n-3+

12

n+4

]，通过讨论可表示d_n为分段式，进而可表示{d_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=

5

2

，a_n+1=

5an-8

2an-3

，
∴a_n+1-2=

5an-8

2an-3

-2=

an-2

2an-3

，
取倒数得

1

an+1-2

=

2an-3

an-2

=

2(an-2)+1

an-2

=

1

an-2

+2，
∵b_n=

1

an-2

，
∴b_n+1=b_n+2，即数列{b_n}为等差数列，公差d=2；
（Ⅱ）∵{b_n}为等差数列，公差d=2，首项

1

a1-2

=

1

5 2 -2

=

1

1 2

=2，
∴b_n=2+2（n-1）=2n，
则c_n=b_n（-

9

10

）ⁿ=2n（-

9

10

）ⁿ，
要使{c_n}的项最大，则n为偶数，
假设第n项最大，不考虑负号，则

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，即

2n•( 9 10 )n≥2(n-1)•( 9 10 )n-1 2n•( 9 10 )n≥2(n+1)•( 9 10 )n+1

，
则

n• 9 10 ≥n-1 n≥(n+1)• 9 10

，即

n≤10 n≥9

，则9≤n≤10，
∵n是偶数，∴n=10，即数列{c_n}的最大项为第10项；
（Ⅲ）设S_n为{b_n}的前n项和，则S_n=

2+2n

2

×n=n(n+1)，
d_n=[

Sn

n+4

]=[

n(n+1)

n+4

]=[n-3+

12

n+4

]，
当1≤n≤2时，d_n=n-1；当3≤n≤8时，n-2≤d_n＜n-1，d_n=n-2；当n≥9时，d_n=n-3．
当1≤n≤2时，T_n=

n(n-1)

2

；当3≤n≤8时，T_n=1+

(n-2)(n-1)

2

；当n≥9时，T_n=1+

6(1+6)

2

+

(n-8)(6+n-3)

2

=22+

(n-8)(n+3)

2

．
∴T_n=

n(n-1) 2 ，1≤n≤2 1+ (n-2)(n-1) 2 ，3≤n≤8 22+ (n-8)(n+3) 2 ，n≥9

．

点评：该题考查由数列递推式求通项、等差关系的确定，考查学生的推理论证能力及运算求解能力，考查分类思想，难度较大．