Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；   
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意及正方形的特点，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，进而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到线面垂直；
（2）由题意及图形，利用三垂线定理得到二面角的平面角，并在三角形中解出即可；

解答： 证明：（Ⅰ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC⊥AB，
又∵BC⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又∵PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
又∵BC∩CD=C，BC，CD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）设M为AD中点，连接EM，
又E为PD中点，
可得EM∥PA，从而EM⊥底面ABCD．
过M作AC的垂线MN，垂足为N，连接EN．
由三垂线定理有EN⊥AC，
∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角．
在Rt△EMN中，可求得EM=

1

2

PA=1，MN=

2

2

AM=

2

4

AD=

2

2

，
∴EN=

EM2+MN2

=

6

2

，
∴cos∠ENM=

MN

EN

=

3

3

．
∴二面角E-AC-D的余弦值为

3

3

．

点评：此题重点考查了线线垂直，线面垂直的判定与性质；还考查了利用三垂线定理求解出二面角的平面角一常用方法；难度中档．