Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA₁和DC₁．
（Ⅰ）求证：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接B₁C，证明四边形A₁B₁CD是平行四边形，可得A₁D∥B₁C，即可证明A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）由等体积求出C到平面DA₁C₁的距离，即可求直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接B₁C，则
∵DC∥A₁B₁，
∴四边形A₁B₁CD是平行四边形，
∴A₁D∥B₁C，
∵A₁D?平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁，
∴A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）解：△DA₁C₁中，A₁D=C₁D=

5

，A₁C₁=1，
∴S△DA1C1=

15

2

设C到平面DA₁C₁的距离为h，则由等体积可得

1

3

•

1

2

•1•1•2=

1

3

•

15

2

•h，
∴h=

2

15

，
∴直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值为

h

2

=

15

15

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确求出C到平面DA₁C₁的距离是关键．