Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角B-AP-C的大小的余弦．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）利用线面垂直的性质证明PC⊥平面ABC，即可证明PC⊥AB；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求二面角B-AP-C的大小的余弦

解答： 解：（1）∵AC=BC=2，AP=BP，∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．
（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵PB=AB=2

2

，
∴t=2，P（0，0，2），
取AP中点E，连结BE，CE．
AC=PC，AB=BP，
CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），

EC

=(0，-1，-1)，

EB

=(2，-1，-1)，
∴cos∠BEC=

EC • EB

| EC || EB |

=

2

2 • 6

=

3

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，以及空间二面角和距离的计算，利用向量法是解决本题的关键．