Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，VA⊥平面ABC．
（1）求异面直线DE与AB所成的角；
（2）证明：DE⊥平面VAC．
（3）若AB=

2

VA，求二面角A-BC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）根据异面直线DE与AB所成的角的定义即可得到结论；
（2）根据线面垂直的判定定理即可证明DE⊥平面VAC．
（3）求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系，即可求二面角A-BC-D的大小．

解答： 证明：（Ⅰ）因为D，E分别是VB，VC的中点，
所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE
与AB所成的角．            
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形．于是∠ABC=45°．
故异面直线DE与AB所成的角为45°．
（Ⅱ）因为VA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
所以BC⊥VA．
由（Ⅰ）知，BC⊥AC，
所以BC⊥平面VAC．         
又由（Ⅰ）知，BC∥DE，
故DE⊥平面VAC．  
（ III）由（Ⅱ）知，BC⊥VA，BC⊥AC，
则∠ACV为所求二面角的平面角．
又AB=

2

VA，
则VA=AC，故∠ACV=45°

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，以及空间二面角和直线和异面直线所成角计算，考查学生的推理能力．