Question

已知：如图AD，BC，AE分别是⊙O的三条切线，切点分别是D，E，F，AG是⊙O的一条割线，交⊙O于F，G两点，△ABC的周长2

3

，⊙O的半径为1．
（1）求证：AF•AG=3；
（2）求AF²+FG²的最大值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）先证明AD=AE，再利用切割线定理，即可证明AF•AG=3；
（2）设AF=x，表示出AF²+FG²，结合AF=x∈[1，

3

)，即可求AF²+FG²的最大值．

解答： （1）证明：△ABC的周长2

3

，得到AB+AC+BF+CF=2

3

，
又因为：BF=BD，CF=CE，所以AD+AE=2

3

，
因为：AD=AE，所以AD=AE=

3

．
所以AF•AG=AD2=

3

2=3．--------------（5分）
（2）解：设AF=x，则AG=

3

x

，FG=x-

3

x

，
所以AF2+FG2=2x2+

9

x2

-6，
因为⊙O的半径为1，得到AF=x∈[1，

3

)，
所以AF²+FG²的最大值为5．--------------（10分）

点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．