Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD．ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2．DD₁=3，E，F分别是AB与D₁E的中点．
（1）求证：CE⊥DF； 
（2）求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明CE⊥平面DD₁E，即可证明CE⊥DF； 
（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEF的一个法向量、平面CEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵AD=AE，∠DAB=60°，∴△ADE为正△．
在△CDE中，由余弦定理可求CE=

3

，
又(

3

)2+12=22，
由勾股定理逆定理知CE⊥DE，
又DD₁⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴CE⊥DD₁
∴CE⊥平面DD₁E，
又DF?平面DD₁E，∴CE⊥DF．
（2）解：以直线AB，AA₁分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系，
由题设A（0，0，0），E（1，0，0），D₁（

1

2

，

3

2

，3），C(

5

2

，

3

2

，0)
可求平面AEF的一个法向量为

m

=(0，-2

3

，1)，
平面CEF的一个法向量为

n

=(3，-3

3

，2)
∴平面角θ满足|cosθ|=

| m  • n  |

| m  || n  |

=

130

13

又θ为钝角，∴cosθ =-

130

13

．

点评：本题考查线面垂直、线线垂直、考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确求出平面的法向量，属于中档题．