Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且nS_n+1-（n+1）S_n=

n2+n

2

（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

an+3

2an+1•an3

，证明：当n≥2时，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

9

8

．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把给出的递推式两边同时除以n²+n，得到数列{

Sn

n

}为等差数列，由等差数列的通项公式求出S_n，然后利用a_n=S_n-S_n-1求数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

an+3

2an+1•an3

，然后利用放缩法证明不等式．

解答： （1）解：由nS_n+1-（n+1）S_n=

n2+n

2

，得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

．
∴数列{

Sn

n

}为等差数列．
∵a₁=1，
∴

S1

1

=

a1

1

=1．
则

Sn

n

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

．
∴Sn=

n2+n

2

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n2+n

2

-

(n-1)2+n-1

2

=n．
验证n=1时成立．
∴a_n=n；
（2）证明：b_n=

an+3

2an+1•an3

=

n+3

2n+1•n3

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1+

5

64

+b3+b4+…+bn
＜

69

64

+

3

27

+

3

28

+…+

3

2n+4

=

69

64

+

3 27 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

=

72

64

-

3

2n+4

＜

9

8

．

点评：本题考查了数列与不等式，考查了等差关系的确定，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中高档题．