Question

如图，已知AB是半圆O的直径，且AB=4，BC与圆O相切，且BC=4，连接OC与半圆O相交于E点，连接AE并延长与BC交于D点，则CD=

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：三角函数的求值

分析：设CD=x，∠BAC=α，则BD=4-x，连接BE，则∠BOC=2α，在△OBC中，tan2α=2，可得tanα=

-1+ 5

2

，在△∠BAD中：tanα=

4-x

4

，解得答案．

解答： 解：设CD=x，∠BAC=α，则BD=4-x，连接BE，

则∠BOC=2α，
在△OBC中，OB=

1

2

AB=2，BC=4，
∴tan2α=

4

2

=2=

2tanα

1-tan2α

，
即tanα=1-tan²α，即tan²α+tanα-1=0，
解得：tanα=

-1+ 5

2

，或tanα=

-1- 5

2

（舍），
在△∠BAD中：tanα=

4-x

4

=

-1+ 5

2

，
解得：x=6-2

5

，
故答案为：6-2

5

点评：本题考查的知识点是三角函数的应用，难度中档．