Question

已知函数f（x）=

1

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x³-x²-3x+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在区间[t，t+4]的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=x²-2x-3，可得f′（1）=-4，f（1）=-

2

3

．利用点斜式即可得出切线方程；
（2）分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出即可得出单调区间；
（3）对t分类讨论，利用（2）的单调性即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

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3

x³-x²-3x+3．
∴f′（x）=x²-2x-3，f（1）=-

2

3

．
∴f′（1）=-4，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y+

2

3

=-4（x-1），化为12x+3y-10=0．
（2）令f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（3，+∞）；单调递减区间为（-1，3）．
（3）当t+4≤-1，即t≤-5时，∵函数f（x）在区间（-∞，-1]单调递增，∴当x=t时，f（x）取得最小值，f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
当t≥3，函数f（x）在区间[3，+∞]单调递增，∴当x=t时，f（x）取得最小值，f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
当-5＜t＜-3时，-1＜t+4＜1．∵函数f（x）在区间[t，-1]单调递增，在[-1，t+4]上单调递减，
而f（t+4）-f（t）=

1

3

(t+4)3-(t+4)2-3(t+4)+3-

1

3

t3+t²+3t-3=4(t+1)2-

32

3

＞0．
∴函数f（x）的最小值为{f（t），f（t+4）}_min=f（t）．
当-3≤t≤3时，1＜t+4＜7．∵函数f（x）在区间[t，3）单调递减，在（3，t+4]单调递增，
∴函数f（x）的最小值为f（3）=9-9-9+3=-6．
综上可得：当t+4≤-1，即t≤-5时，f（x）的最小值为f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
当t≥3，f（x）的最小值为f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
当-5＜t＜-3时，-1＜t+4＜1，函数f（x）的最小值为f（t）．
当-3≤t≤3时，1＜t+4＜7，函数f（x）的最小值为f（3）=-6．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．